2 Connexité (par arc) dans un espace métrique FONCTIONS HOLOMORPHES 1 Connexité par arcs On désigne par (E, d) un espace métrique qui sera par la suite essentiellement C muni de la distance associée au module. 1.1 Arc d’une partie Soit A une partie de E. 1.1.1 Généralités sur les arcs Soit A une partie de E. Definition 1.1 On appelle arc de A une application continue γ de [0, 1] dans A. les éléments γ(0) et γ(1) sont dits extrémités de l’arc, γ(0) étant dit origine; {γ} = γ(A) est appellé support de l’arc. Proposition 1.1 Soit f une une application continue de [a, b] dans A où a et b sont des réels a < b; on note: u(t) = ta + (1 − t)b pour t ∈ R. Alors f ◦ u : [0, 1] → A est un arc de A d’extrémités f(a) et f(b). Remarque 1.1 On identifie f et f ◦ u et ainsi toute application continue d’un intervalle compact de R dans A peut être considéré comme un arc de A. 1.1.2 Opérations sur les arcs d’une partie A Definition 1.2 Soit γ un arc de A;on pose: ∧γ (t) = γ(1 − t). Alors ∧γ est un arc dit opposé de γ. L’origine de α est l’extrémité de γ et vice-versa. Definition 1.3 Soient α et β deux arcs de A tels que α(1) = β(0).On pose: γ(t) = � α(2t) si 0 ≤ t ≤ 1 2 β(2t − 1) si 1 2 ≤ t ≤ 1 . Alors γest un arc dit juxtaposition ou réunion des arcs α et β et noté α ∨ β.L’origine de γ est celle de α et l’extrémité de γ est celle de β. 2 Connexité (par arc) dans un espace métrique 2.1 Généralités Definition 1.4 On dit que A est une partie connexe (par arc), ssi, pour tout a, b appartenant à A, il existe un arc de A d’extrémités a et b. Theoreme 1.2 Les parties connexes (par arc) de R sont les intervalles. Preuve 1 Il est clair qu’un intervalle est connexe. Soit I un connexe de R et a et bdeux éléments de I et γ un arc de A d’extrémités a et b. Soit c un élément strictement compris entre 1