GÉOMÉTRIE AVEC OU SANS TIERS EXCLU? Motivation pour l’intuitionnisme à travers la géométrie Marc JAMBON Université de la Réunion RÉSUMÉ. – La réalité des figures géométriques n’incite pas à fonder une géométrie axiomatique sur l’axiome du tiers exclu. C’est pourquoi l’intuitionnisme de Brouwer nous paraît particulièrement intéressant. ABSTRACT. – Reality of geometric figures doesn’t incite to base axiomatic geometry on the axiom of excluded middle, so we are especially interested in Brouwer’s intuitio- nism. 1. Histoire et philosophie de l’intuitionnisme À la fin du XIXe siècle, époque où le formalisme s’impose de plus en plus sous l’influence de Hilbert (dont Bourbaki sera ultérieurement l’héritier), une réaction de contestation s’exprime dans les travaux de Kant et Kronecker. Puis, au début du XXe siècle, un mathématicien hollandais, Luitzen Brouwer (1881-1966), crée véritablement une nouvelle forme de pensée mathéma- tique : l’intuitionnisme, qu’il définit initialement comme une référence à sa seule intuition, en s’opposant ainsi au formalisme. En fait, l’intuitionnisme est l’aboutissement d’une réelle réflexion philosophique sur les mathématiques et leur lien avec le réel. L’intuitionnisme rejette l’infini actualisé, prolongement du raisonnement fini à l’infini, et le recours au raisonnement par l’absurde pour prouver des théorèmes d’existence, autant de formes de raisonnement rebelles à l’intuition de Brouwer, mais acceptées dans la nouvelle logique for- melle (on dira plus tard « classique ») comme conséquences de l’axiome du tiers exclu (cf. § 3). À titre d’exemple, considérer une suite comme objet d’un nouvel ensemble conduit à définir une égalité entre suites par : (suite un) = (suite vn) lorsque, pour tout n (entier naturel), un = vn. Accepter que deux suites sont égales « ou exclusif » différentes est une conséquence de l’axiome du tiers exclu. C’est aussi une expression de l’infini actualisé, en ce sens qu’il faudrait une infinité de tests (intuitivement acceptables, chacun pris isolément) pour avoir la réponse. Exprimer en logique formelle que deux suites sont diffé-