Fonction réelle d’une variable réelle – Pierre Frachebourg 1 Limite et continuité d’une fonction §1 Limites finies � Soit une fonction f et Df son domaine de définition. Définition 1 : On dit que le nombre réel x0 est un point adhérent de Df si ∀η>0, ∃x∈Df tel que ;;; x - x0 ;;;<η (⇔ x0 - η < x < x0 + η). Le nombre x0 est dit isolé s’il n’est pas adhérent de Df . • remarques : - tout nombre x0 ∈ ]a,b[ est adhérent de ]a,b[. Les nombres a et b sont aussi adhérents de ]a,b[. - si x0 ∉Df , alors x0 peut être adhérent ou non : 3 est adhérent de [1,3[∪]3,7[ ( 7 aussi ) ; mais 3 n’est pas adhérent de ]-∞.2] • Définition 2 : Soit une fonction f , un nombre x0 adhérent de Df et un nombre réel l . On dit que la fonction f admet la limite l pour x tendant vers x0 ssi ∀ε>0, ∃δ>0 tel que ;;; x - x0 ;;;<δ ⇒ ;;; f(x) - l ;;;<ε . On note = → ) x ( f lim 0 x x l . • exemple : Fonction constante : f(x) = c c c lim 0 x x = → En effet, ∀ε>0, ∃δ>0 tel que 0 < ;;; x - x0 ;;;<δ ⇒ ;;; c - c ;;; < ε . • remarques : - en général δ dépend de ε et de x0 (le plus petit on prend ε, le plus petit il faut prendre δ). - la valeur x = x0 est exclue de l’ensemble des nombres x pour lesquels on a l’inégalité ;;; f(x) - l ;;;<ε. � Théorème 1 : La limite l est unique. • démonstration : §2 Limites infinies et à l’infini � Soit une fonction f et Df son domaine de définition. Définitions 3 : Soit une fonction f , un nombre x0 adhérent de Df . On dit que : = → ) x ( f lim 0 x x +∞ ssi ∀A>0, ∃δ>0 tel que ;;; x - x0 ;;;<δ ⇒ f(x) > A ; = → ) x ( f lim 0 x x -∞ ssi ∀A>0, ∃δ>0 tel que ;;; x - x0 ;;;<δ ⇒ f(x) < -A ; = +∞ → ) x ( f lim x l ssi ∀ε>0, ∃B>0 tel que x > B ⇒ ;;;f(x) - l ;;; < ε ; = −∞ → ) x ( f lim x l ssi ∀ε>0, ∃B>0 tel que x < -B ⇒ ;;;f(x) - l ;;; < ε ; = +∞ → ) x ( f lim x +∞ ssi ∀A>0, ∃B>0 tel que x > B ⇒ f(x) > A . ( idem pour = +∞ → ) x ( f lim x -∞ , = −∞ → ) x ( f lim x +∞ , = −∞ → ) x ( f lim x -∞ ). • exemples :