Concours Centrale - Supélec 2010 Épreuve :MATHÉMATIQUES I FilièreMP Partie I - Pr´eliminaires g´eom´etriques I.A - I.A.1) ´Etablir que τ = τ0 ∪ τ1. I.A.2) Repr´esenter sur une mˆeme figure τ0, τ1, τ. I.A.3) a) Soit a ∈ C et θ ∈ R. Prouver que l’image z′ du complexe z par la r´eflexion dont l’axe est la droite passant par a et dirig´ee par eiθ v´erifie la relation : z′ − a = e2iθ (z − a) b) ´Etablir une relation analogue `a celle de la question pr´ec´edente entre un complexe z et son image z′ par l’homoth´etie de centre a et de rapport ρ > 0. c) D´emontrer que φ0 est la compos´ee d’une r´eflexion dont on pr´ecisera l’axe et d’une homoth´etie de rapport strictement positif `a pr´eciser et dont le centre appartient `a l’axe de la r´eflexion. Prouver une propri´et´e analogue pour φ1. Ces d´ecompositions sont-elles uniques ? I.A.4) Que vaut l’image d’un triangle plein � abc par φ0 et par φ1 ? D´eterminer φ0(τ) et φ1(τ). I.B - (Diam`etre d’un triangle plein) I.B.1) a) D´emontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle. b) D´emontrer que K est convexe c’est `a dire que, pour tout r´eel t ∈ [0, 1] et tout couple (u, v) d’´el´ements de K, tu + (1 − t)v appartient `a K. c) ´Etablir que, si (a, b, c) ∈ C3, � abc est un compact convexe de C muni de sa topologie usuelle. d) Avec les mˆemes notations prouver l’existence de : δ( � abc) = max{;;;z′ − z;;; / (z, z′) ∈ � abc 2} I.B.2) a) D´emontrer que, si l’on fixe z ∈ C et (a, b, c) ∈ C3 max{;;;z′ − z;;; / z′ ∈ � abc} = max(;;;z − a;;;, ;;;z − b;;;, ;;;z − c;;;). b) En d´eduire une expression simple de δ( � abc). Les calculatrices sont autoris´ees Dans tout le probl`eme l’ensemble C des nombres complexes est consid´er´e comme le plan affine euclidien muni de son rep`ere orthonorm´e canonique (0, 1, i) (o`u i2 = −1). • On notera K l’ensemble des triplets (α, β, γ) de R3 constitu´es de trois r´eels positifs ou nuls tels que α + β + γ = 1. • Si (a, b, c) ∈ C3, on notera � abc le ”triangle plein” d´efini par : � abc = {α a + β b + γ c / (α, β, γ) ∈ K}. Dans tout le probl`eme on notera τ0, τ1 et τ les triangles pleins d´efinis par : τ0 = � −10i. τ1 = � 01i. τ = � −11i. • On notera ´egalement φ0 et φ1 les applications de C dans C d´efinies par (en notant z le conjugu´e du nombre complexe z) : φ0(z) = 1 + i 2 z + −1 + i 2 et φ1(z) = 1 − i 2 z + 1 + i 2 . • La notation {0, 1}N∗ d´esignera l’ensemble des suites (rn)n≥1 d’entiers naturels tels que rn ∈ {0, 1} pour tout entier naturel non nul n. • La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications continues de [0, 1] dans C est not´ee ;;;;;; ;;;;;;∞. • La partie enti`ere du r´eel x est not´ee [x]. Si n est un entier naturel on posera, pour tout r´eel x et tout entier naturel non nul n : rn(x) = [2n x] − 2 [2n−1 x]. • On notera Z �1 2 � l’ensemble des rationnels de la forme k 2n o`u k ∈ Z et n ∈ N. • On rappelle enfin que, si (Xn)n≥1 est une famille de parties de C index´ees sur N∗, on a : � n≥1 Xn = {z ∈ C / ∀n ∈ N∗, z ∈ Xn} L’objectif du probl`eme est la construction d’une application f continue de [0, 1] dans C dont l’image f([0, 1]) est le triangle plein τ et l’´etude de quelques unes de ses propri´et´es. Page 1/3 - version du 1er mars 2010 9h35