0.1 Algébre DUALITE L’idée de dualité est l’une des idées les plus profondes que le monde scientifique ait élaborée. Elle prend diverses formes mais part du même principe qui est de dire qu’il est parfois plus facile de changer d’univers pour résoudre un problème pourvu qu’on ait la clé qui permet d’aller de l’un à l’autre de sorte qu’on puisse interpréter alors ce problème dans les deux univers. La dualité dans le cours que nous allons faire se fait dans des espaces vectoriels de dimensions finies. La clé est le concept de base duale et prédsuale. l’illustration du propos se fait dans le cadre des systémes linéaires. .1 Algébre Definition 0.1 On appelle algébre sur un corps K , un K−espace vectoriel E muni d’une loi interne dite multiplication noté (x, y) → x.y tel que (E, +, .) soit un anneau unitaire et vérifiant en outre ∀α ∈ K ∀x, y ∈ E α (x.y) = (αx) .y = x. (αy) et si . est commutative on parle d’algébre commutative. L’élément neutre pour la mu- tiplication ou loi produit est dit unité de l’algébre. Exemple 0.1 K [X] est une algébre commutative. KX est une algébre commutative. Si E est K − ev, L (E) est une K−algébre non commutative si dim E > 1. Mn (K) est une K−algébre non commutative si n > 1. Definition 0.2 On appelle morphisme d’une K−algébre E dans une K−algébre F toute application linéaire de E dans F qui soit un morphisme d’anneaux. Un mor- phisme d’algébre bijectif est dit isomorphisme d’algébre. Proposition 0.1 Si E et F sont deux K−algébres, l’espace vectoriel E × F est une K−algébre lorsqu’on le munit du produit: ∀ (x, y) , (x′, y′) ∈ E × F (x, y) . (x′, y′) = (x.x′, y.y′) et les élléments neutres sont (0E, 0F) et (1E, 1F) et les projections sont des morphismes de K−algèbres. Definition 0.3 On appelle sous-algébre de l’algébre E un sev de E stable pour le produit et contenant 1E. Definition 0.4 On appelle idéal d’une K−algébre commutative E, un sev I de E vérifiant ∀ (a, x) ∈ E × I a.x ∈ I. Proposition 0.2 Le noyau d’un morphisme d’algébre commutatives est un idéal. Proof. Soit f ∈ L (E, F) où E et F sont des K−algébres commutatives, alors ker f est un sev de E et on a: ∀ (a, x) ∈ E × ker f f (a.x) = f (a) .f (x) = f (a) .0E = 0E 1