Equations Différentielles Ordinaires Tony Lelièvre 2009-2010 L’objectif de ce cours est d’introduire plusieurs outils nécessaires pour bâtir et utiliser des modèles basés sur des équations différentielles ordinaires. On s’attachera en particulier à étudier plusieurs aspects du comportement qualitatif des solutions, ainsi que de leur simulation numérique. 1 Quelques modèles basés sur des équations diffé- rentielles ordinaires Les modèles basés sur des équations différentielles ordinaires sont extrêmement courants. Donnons quelques exemples tirés de divers champs scientifiques. 1.1 Mécanique L’évolution d’un ensemble de points matériels de vecteur position x est régie par la loi de Newton : m¨x = F(x, ˙x), où ˙x désigne la dérivée première par rapport au temps (la vitesse) et ¨x la dérivée seconde par rapport au temps (l’accélération). On a ici supposé la masse m constante. De manière générale, m peut être un tenseur. Le second membre F(x, ˙x) désigne une force dépendant de la position et de la vitesse. Remarquer que l’on peut se ramener à une équation du premier ordre en posant v = ˙x et en travaillant dans l’espace des phases (x, v) : � ˙x = v, ˙v = 1 mF(x, ˙x). (1) Quelques exemple de champs de force que l’on retrouvera par la suite : – pour un pendule pesant, on a : x ∈ T = R/(2πZ) et F(x, ˙x) = −mg l sin x − k ˙x, où g est l’accélération de la gravité, l la longueur du fil, et k ≥ 0 un coefficient de frottement visqueux. – la force peut dériver d’un potentiel : F(x) = −∇V (x). Dans ce cas, on a un système hamiltonien. Si on pose (q, p) = (x, mv) (p désigne la quantité de 1