UFR de Mathématiques et d’informatique Responsable de l’UE : Nicolas Jung Examen d’Analyse Numérique Licence de Mathématiques, Semestre 4 Mercredi le 19 décembre 2013 Durée : 2 heures Lire avec attention les remarques données ci-dessous : – Aucun document n’est autorisé pendant cet examen. Par conséquent, les téléphones portables, ainsi que tout autre objet électronique communiquant, seront éteints et laissés au fond du sac. L’usage de la calculatrice est cependant autorisé. – Une attention particulière sera apportée à la rédaction et à la précision des arguments. – Ce sujet comporte 3 pages. Questions de cours [5 points] Question 1 [3 point] Soit Vn la matrice de Vandermonde : M = � � � � � 1 α0 α2 0 . . . αn−1 0 αn 0 1 α1 α2 1 . . . αn−1 1 αn 1 ... ... ... ... ... ... 1 αn α2 n . . . αn−1 n αn n � � � � � a) Calculer son déterminant. Quand est-il non-nul ? b) Quel est le lien entre cette matrice et l’interpolation polynomiale ? Question 2 [2 points] Démontrer le théorème suivant : Théorème. Soit f une fonction de classe Cn+1 sur un intervalle [a; b]. Si f s’annule (n + 2) fois sur l’intervalle ]a; b[, alors f (n+1) s’annule au moins une fois sur l’intervalle ]a; b[. Exercice 1 [5 points] Soit A une matrice inversible donnée. 1. si (A + δA) est une matrice inversible, démontrer ∥(A + δA)−1 − A−1∥ ∥(A + δA)−1∥ ≤ cond(A)∥δA∥ ∥A∥ 2. Démontrer que ∥(A + δA)−1 − A−1∥ ∥A−1∥ ≤ cond(A)∥δA∥ ∥A∥ (1 + O(∥A∥)) 1