Chapitre 5: flot d’une ´equation diff´erentielle ordinaire Philippe Chartier 17 mars 2010 1 D´efinition du flot et propri´et´es ´el´ementaires Dans ce chapitre, D d´esigne un ouvert connexe de Rd. On consid`ere le probl`eme de Cauchy sous forme autonome : � ˙y(t) = f(y(t)) y(t0) = y0 , (1.1) o`u f est une fonction d´efinie sur D et (t0, y0) un point de R × D. On suppose en outre que f est continue et localement Lipschitzienne, de sorte que pour tout (t0, y0) ∈ R × D, le syst`eme (1.2) admet une solution maximale unique sur un intervalle ouvert J(t0, y0) ⊂ R. Alors, l’application (t, t0, y0) �→ y(t; t0, y0) qui associe la valeur en t de la solution de (1.2) est bien d´efinie sur l’ouvert Ω = {(t, t0, y0) ∈ R × R × D; t ∈ J(t0, y0)}. On note en outre Ω0 = {(t, y0) ∈ R × D; t ∈ J(0, y0)} D´efinition 1.1 On appelle flot de l’´equation diff´erentielle (1.2) l’application : Ω0 → Rd (t, y0) �→ ϕt(y0) = y(t; 0, y0) Il est clair que ϕt(y0) satisfait l’´equation suivante : � d dtϕt(y0) = f(ϕt(y0)) ϕ0(y0) = y0 , (1.2) et qu’on a en outre, pour tout (t, t0, y0) ∈ Ω, (t−t0, y0) ∈ Ω0 et y(t; t0, y0) = ϕt−t0(y0), ce qui justifie la d´efinition de ϕt comme une application ind´ependante de t0. 1